PERTEMUAN 1 MATERI TENTANG BILANGAN REAL (KALKULUS 1)

BILANGAN REAL 

A. Bilangan Real 

1. Himpunan Bilangan Real : himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional. 

• Bilangan Rasional :   Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b di mana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Himpunan bilangan asli, N= {1,2,3,...}, Himpunan bilangan bulat, Z = {...-2,-1,0,1,2,...}

• Bilangan Irrasional : Bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol.     

  B.  Menuliskan bilangan real dapat dilakukan dengan 3 cara 

1. Menggunakan Notasi Himpunan. 
2. Menggunakan Garis Himpunan. 
3. Infrimum dan Suprimum. 

• Contoh :
  B = {1,2,3,...}
  Nyatakan himpunan B dalam notasi himpunan, garis himpunan, intrimum dan suprimum (min 2)
  B = {X | X ≥ 1 , X є R} (1,2)
  B = {X | > 0 , X є R} (0,2)          

  C. Sifat-sifat uratan bilangan real  

1. Trikotomi : jika X dan Y adalah bilangan-bilangan, maka salah satu diantaranya pasti  berlaku,seperti: X < Y atau X = Y atau X > Y
2. Ketransitifan : X < Y dan Y < Z maka X < Z  
3. Penambahan : X < Y dan X + Z < Y + Z
4. Perkalian : bilamana Z positif, X < Y maka XZ < YZ bilamana Z negatif X < Y maka XZ > YZ

   D.  Sifat keajaiban bilangan real  

1. Hukum Komulatif : X + Y = Y + X dan XY = YX  
2. Hukum Asosiatif : X + (Y + Z) = (X + Y) + Z dan X (YZ) = (XY) Z
3. Hukum Distributif : X (Y + Z) = XY + XZ   
4. Elemen identitas : -> identitas penjumlahan = 0,X + 0 = X   -> identitas perkalian = 1,X 1 = X
5. Balikan (invers) : -> penjumlahan = invers dari X adalah –X
                                               bukti = X + (-X) = identitas (0)
                                          -> perkalian = invers dari X adalah X¯¹
                                               bukti = X . X¯¹ = identitas (1)

          Contoh Soal :  1.  ( √5 + √3 ) ( √5 - √3 )

                                = √25 - √15 + √15 - √9

                                = 5 – 3

                                = 2

    E. Garis Bilangan 

              Setiap Bilangan Real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada                sebuah garis bilangan, yang disebut garis bilangan real. 

     F. Sistem Bilangan Real 

• Himpunan Bilangan Real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan. 

• Sifat-sifat Bilangan Real : 

                     1. Sifat-sifat aljabar, menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan,                             dikurangkan, dikalikan,dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh 

                         bilangan real yang baru.

                                     Contoh : 2+5 1/8 = 7 1/8

                                                    5-0,4 = 4,6

                                                    4*3/4 = 1

                                                    3:4 = 3/4 

                     2. Sifat-sifat urutan 

                           - Bilangan Real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih besar dari 0,                               ditulis a > 0. 

                                      Contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0 

                           - Bilangan real a lebih kecil dari b, ditulis a < b,  jika b-a positif. 

                                      Contoh : 2 < 5 karena 5-2 = 3 > 0     
                                

                     3. Sifat-sifat kelengkapan, himpunan bilangan real secara garis besar                                         menyatakan bahwa terdapat cukup banyak bilangan-bilangan real 
                       untuk mengisi garis bilangan real secara lengkap sehingga tidak ada 
                       setitik celah di antara nya. 

      G. Interval Bilangan Real 

                   Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang                               mengandung paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dan semua 
           bilangan real yang terletak diantara keduanya. 

      H. Interval-interval Tak Hingga 

           

       I. Ketidaksamaan 

• Menyelesaikan ketidaksamaan dalam x berarti mencari interval atau interval-interval dari bilangan yang memenuhi ketidaksamaan tersebut. 

• Cara menyelesaikan ketidaksamaan : 

1. Tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama. 
2. Kalikan kedua sisi dengan bilangan positif. 
3. Kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif (tanda ketidaksamaan berubah). 

     J. Nilai Mutlak 

• Definisi nilai mutlak         

• Secara Geometri : 

          |x| menyatakan jarak dari x ke titik asal. 

          |x-y| menyatakan jarak diantara x dan y. 

• Sifat Nilai Mutlak