PERTEMUAN 13 MATERI TENTANG TITIK KRITIS TURUNAN FUNGSI (KALKULUS 1)

Titik Kritis Turunan Fungsi

A. Pengertian

  Dalam ilmu matematika (khususnya dalam bidang kalkulus), titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi yang dapat diturunkanadalah suatu titik di dalam grafik dengan turunan kurva pertama yang sama dengan nol. Dalam kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun. Untuk fungsi beberapa variabel riil yang dapat diturunkan, titik stasioner adalah titik di permukaan grafik dengan turunan parsial nol.

      Titik Kritis. Adalah titik dimana pada titik tersebut sangat membantu untuk membatasi suatu turunan. Andaikan f terdiferensiasikan pada selang I yang memuat titik c. Jika  adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu

1.Titik ujung dari 

2.Titik stasioner dari 

3.Titik singular dari  tidak ada

B. Definisi Fungsi Naik dan Turun

•     Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).
•     Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).

    Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

C. Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun

  Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).

1. Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
2. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
3. Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].

D. Pembuktian

    Asumsikan bahwa f ’(x) berubah dari negatif menjadi positif pada c. Maka ada a dan b dalam I sedemikian sehingga f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b). Berdasarkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, f turun pada [a, c] dan naik pada [c, b]. Sehingga, f(c) minimum f pada selang buka (a, b) dan, akibatnya, f(c) merupakan minimum lokal f. Hal ini sudah membuktikan kasus pertama teorema tersebut. Untuk kasus yang kedua dapat dibuktikan dengan jalan yang serupa.

E. Contoh Soal

• Menerapkan Uji Fungsi Naik dan Turun

Tentukan nilai ekstrim lokal f(x) = ½ x – sin x dalam selang (0, 2π).

Pembahasan Perhatikan bahwa f kontinu pada selang (0, 2π). Turunan f adalah f ’(x) = ½ – cos x. Untuk menentukan nilai kritis f dalam selang ini, kita tentukan pembuat nol f’(x)

Karena tidak ada titik sedemikian sehingga f ’ tidak ada, kita dapat menyimpulkan bahwa hanya x = π/3 dan x = 5π/3 yang menjadi titik-titik kritis fungsi tersebut. 

PERTEMUAN 14 MATERI TENTANG TURUNAN KEDUA FUNGSI (KALKULUS 1)

Turunan Kedua Fungsi

A. Pengertian 

  Turunan kedua (bahasa Inggris: second derivative atau second order derivative), dalam kalkulus, dari suatu fungsi f adalah turunanatau derivatif dari turunan f. Secara kasar dikatakan bahwa turunan kedua mengukur bagaimana laju perubahan suatu kuantitas itu sendiri berubah; misalnya, turunan kedua dari posisi suatu kendaraan terhadap waktu adalah percepatan instan kendaraan itu, atau laju perubahan kecepatan kendaraan itu.

   Pada grafik suatu fungsi, turunan kedua bersangkutan dengan curvature atau concavity grafik. Grafik suatu fungsi dengan turunan kedua positif melengkung ke atas, sementara grafik suatu fungsi dengan turunan kedua negatif melengkung ke bawah.

B. Aturan Daya Turunan Kedua 

Aturan daya bagi turunan pertama, jika dihitung sedikit, akan menghasilkan aturan daya turunan kedua. Aturan itu diberikan sebagai berikut :

 

C. Notasi 

Turunan kedua suatu fungsi ${\displaystyle f(x)\!}$ biasanya diberi lambang ${\displaystyle f''(x)\!}$. Yaitu :

${\displaystyle f''=(f')'\!}$

Jika menggunakan Notasi Leibniz untuk turunan, turunan kedua dari variabel dependent y terhadap suatu variabel independent x ditulis

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

Notasi ini diturunkan dari formula berikut :

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

D. Penggunaan Turunan Kedua

     1. Menentukan gradien garis singgung kurva

Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah

Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) !

Penyelesaian :

Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5.

     2. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun

Kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0  dan  kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan  f ‘ (x) > 0  atau  f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut :

Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x !

Jawab :

y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6x-24=3(x²+2x-8)=3(x+4)(x-2)

Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :

f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik.

F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun.

      3. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum

Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24x-7 !

Jawab :

y’=3x²-6x-24

nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka

3x²-6x-24 = 0

(x²-2x-8)=0

(x-4)(x+2)=0

x1=4 ; x2=-2

Berdasarkan garis bilangan diatas :

Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu :

f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7

f(-2)=21

Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu :

f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7

f(4)=-87

        

PERTEMUAN 11&12 MATERI TENTANG BENTUK TAK TENTU LIMIT FUNGSI (KALKULUS 1)

BENTUK TAK TENTU LIMIT FUNGSI 

A. Bentuk Tak Tentu 

Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa :

Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :

Bentuk tak tentu lainnya melibatkan fungsi berpangkat fungsi, penyelesaiannya memerlukan konsep logaritma natural dan teorema L’Hospital. 

B. Teorema Limit-limit Tak Tentu

 

C. Macam-macam Bentuk Tak tentu

     1. Bentuk Tak Tentu 0/0

         

Cara Penyelesaiannya : 

Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :

       2. Bentuk Tak Tentu  ∞/∞

          

Cara Penyelesaiannya : 

Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :

       3. Bentuk Tak Tentu 0.∞

         Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :

      4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞

        

            Contoh Bentuk tak tentu ∞ – ∞ :

D. Contoh Soal 

     1. Soal 1

         

        2. Soal 2

         

PERTEMUAN 6 MATERI TENTANG LIMIT BILANGAN EULER (KALKULUS 1)

Limit Bilangan Euler (e)

A. Pengertian Bilangan Euler (e) 

     Bilangan Euler atau e adalah bilangan irrasional yang bernilai 2,718281828… (dan seterusnya) merupakan suatu konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma natural. 

B. Teorema 

limx→∞(1+1x)x=e$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$ dan limx→0(1+x)1x=e

C. Rumus Limit Bilangan Euler (e) 

D. Contoh Soal 

     1. Tentukan  

             Penyelesaian  
           
              Apabila berturut-turut diambil   dan

              Maka,  
   
              Berdasarkan Teorema diatas diperoleh : 

PERTEMUAN 10 MATERI TENTANG TURUNAN FUNGSI IMPLISIT (KALKULUS 1)

Turunan Fungsi Implisit 

A. PENGERTIAN FUNGSI IMPLISIT

    Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni      variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel takbebas tidak diberikan secara "eksplisit" dalam bentuk variabel bebas. Menyatakan sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x:

${\displaystyle y=f(x)}$

Sebailknya, sebuah fungsi adalah implisit apabila nilai y didapatkan dari xdengan memecahkan persamaan dalam bentuk:

${\displaystyle R(x,y)=0}$

Dengan kata lain, sebuah variabel dapat menentukan variabel lainnya, tetapi kita tidak diberikan rumus eksplisit untuk suatu variabel dalam bentuk variabel lainnya.

Secara formal, sebuah fungsi f:X→Y dikatakan sebagai fungsi implisit apabila fungsi tersebut memenuhi persamaan:

${\displaystyle R(x,f(x))=0}$

untuk semua x∈X, dengan R adalah fungsi pada perkalian Cartesian X × Y.

B. Cara Penyelesaian Fungsi Implisit