PERTEMUAN 13 MATERI TENTANG TITIK KRITIS TURUNAN FUNGSI (KALKULUS 1)

Titik Kritis Turunan Fungsi

A. Pengertian

  Dalam ilmu matematika (khususnya dalam bidang kalkulus), titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi yang dapat diturunkanadalah suatu titik di dalam grafik dengan turunan kurva pertama yang sama dengan nol. Dalam kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun. Untuk fungsi beberapa variabel riil yang dapat diturunkan, titik stasioner adalah titik di permukaan grafik dengan turunan parsial nol.

      Titik Kritis. Adalah titik dimana pada titik tersebut sangat membantu untuk membatasi suatu turunan. Andaikan f terdiferensiasikan pada selang I yang memuat titik c. Jika  adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu

1.Titik ujung dari 

2.Titik stasioner dari 

3.Titik singular dari  tidak ada

B. Definisi Fungsi Naik dan Turun

•     Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).
•     Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).

    Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

C. Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun

  Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).

1. Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
2. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
3. Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].

D. Pembuktian

    Asumsikan bahwa f ’(x) berubah dari negatif menjadi positif pada c. Maka ada a dan b dalam I sedemikian sehingga f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b). Berdasarkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, f turun pada [a, c] dan naik pada [c, b]. Sehingga, f(c) minimum f pada selang buka (a, b) dan, akibatnya, f(c) merupakan minimum lokal f. Hal ini sudah membuktikan kasus pertama teorema tersebut. Untuk kasus yang kedua dapat dibuktikan dengan jalan yang serupa.

E. Contoh Soal

• Menerapkan Uji Fungsi Naik dan Turun

Tentukan nilai ekstrim lokal f(x) = ½ x – sin x dalam selang (0, 2π).

Pembahasan Perhatikan bahwa f kontinu pada selang (0, 2π). Turunan f adalah f ’(x) = ½ – cos x. Untuk menentukan nilai kritis f dalam selang ini, kita tentukan pembuat nol f’(x)

Karena tidak ada titik sedemikian sehingga f ’ tidak ada, kita dapat menyimpulkan bahwa hanya x = π/3 dan x = 5π/3 yang menjadi titik-titik kritis fungsi tersebut.