PERTEMUAN 4 MATERI TENTANG FUNGSI DAN GRAFIK (KALKULUS 1)

FUNGSI & GRAFIK

A. Fungsi

• Definisi : Fungsi dari R (Bilangan Real) ke R adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap x ∈ R dengan tepat satu  y ∈ R. 

• Notasi :     f : R ⟶ R 

•   Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

• Aturan :   

1.  Setiap anggota A harus  habis terpasang dengan anggota B.

1. Anggota A tidak boleh membentuk cabang dengan anggota   

                       x ↦y = f (x)
x disebut peubah bebas, y disebut peubah tak bebas.

  

• Domain/daerah asal dari f (x), yaitu : 

     Df = { x ∈ R | f (x) ∈ R }

• Daerah nilai/Range/Kodomain dari f (x), yaitu :   Rf = { x ∈ R |x ∈ Df } ⊆ B
• Himpunan titik di bidang {(x,y) | y = f (x), x ∈ Df , y ∈  Rf }  

Contoh :

• Mendefinisikan suatu fungsi (namakan fungsi itu f). Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi : 

                         f = {(x,y) | 2x² + 5 }

x	0	1	-1	2	-2	…	10
y	5	7	7	13	13	…	205

       Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7);(2,13);(-2,13);...;(10,205), dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut. 

B. Penyajian Fungsi 
    
    Ada beberapa cara penyajian suatu fungsi yaitu :

       a.) Secara Verbal     : dengan uraian kata-kata.
            - Contoh biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). 
            - Aturan yang digunakan di Kantor Pos adalah sebagai berikut : 
            - Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons,                  ditambah Rp 250,00 untuk setiap penambahan sampai 5 ons.  
       
       b.) Secara Numerik  : dengan tabel.
            - Contoh biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan pada tabel                          berikut : 
              

Berat w (dalam Ons)	Biaya (B)w (dalam Rupiah)
0 < w <= 1	1000
1 < w <= 2	1250
2 < w <= 3	1500
3 < w <= 4	1750
0 < w <= 5	2000

              

      c.) Secara Visual      : dengan grafik.
           - Contoh biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan dalam grafik                       berikut : 
             

      d.) Secara Aljabar    : dengan aturan/rumusan eksplisit.   
           - Contoh biaya pengiriman surat tercatat dinyatakn oleh fungsi berikut : 
              

    C. Jenis-jenis Fungsi 

    

          1.) Fungsi Linear 

         

           2.) Fungsi Polinomial

           3.) Fungsi Pangkat 

            

          4.) Fungsi Akar 

          5.) Fungsi Kebalikan 

                  

          6.) Fungsi Rasional 

                  

              7.) Fungsi Aljabar 

              

         8.) Fungsi Trigonometri 

                a. Fungsi Sinus 

                b. Fungsi Cosinus 

                c. Fungsi Tangen 

                d. Fungsi trigonometri lainnya

           

         9.) Fungsi Eksponensial 

           

        10.) Fungsi Logaritma

     

        11.) Fungsi Transenden

                        Fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi                                     trigonometri, invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.

        12.) Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong 

                       Fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku                        pada bagian tertentu dari daerah asal.

        13.) Fungsi genap dan fungsi ganjil 

        14.) Fungsi naik dan fungsi turun 

  D. Sifat-sifat Fungsi 

         1. Fungsi Into 

             Fungsi f : A → B disebut Into jika ada anggota B tidak mempunyai                     pasangan dengan anggota A.

     2. Fungsi Onto (Surjektif)

        Fungsi f : A → B  disebut onto jika setiap anggota B mempunyai                         pasangan anggota A. Sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, 

        suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

        3. Fungsi Satu-satu (Injektif) 

            

            Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu                      fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di              A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya                    secara singkat dapat dikatakan bahwa f : A→B adalah fungsi injektif . 

            (Untuk anggota B yang mempunyai pasangan dengan Anggota A,                      pasangan tersebut hanya satu).

   

       4. Fungsi Korespondensi Satu-satu (Bijektif) 

           Fungsi f : A → B  disebut korespondensi satu-satu jika fungsi                             tersebut injektif dan sekaligus surjektif. 

       

GRAFIK FUNGSI 

       

• Menentukan Persamaan Garis Lurus

Jika diketahui gradien sebuah garis yang melalui suatu titik tertentu, dapatkah kalian menentukan persamaan garisnya? Atau dapatkah kalian menentukan gradien sebuah garis jika yang diketahui hanya dua buah titik yang dilalui oleh garis tersebut?

1. Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik (a,b)                  dengan Gradien m

Kalian semua pasti sudah mengenal bentuk umum dari persamaan garis, yaitu y = mx + c. Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik (a, b) dengan gradien m, substitusikan x = a dan y = b pada persamaan garis y = mx + c sehingga diperoleh:

b = ma + c atau c = b – ma

Langkah selanjutnya adalah mensubstitusikan nilai c pada persamaan awal, yaitu y = mx + c sehingga diperoleh:
y = mx + (b – ma)
y – b = mx – ma
y – b = m(x – a)

Jadi, persamaan garis yang melalui titk (a, b) dengan gradien m adalah y – b = m(x – a).

2. Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Kalian masih ingat cara mencari gradien garis yang melalui dua buah titik. Coba kalian ingat-ingat kembali bagaimana cara mencari gradien apabila diketahui dua buah titik, misalkan (x1, y1) dan (x2, y2)!

Gradien garis yang melalui titik tersebut adalah

 

Dengan menggunakan rumus pada bagian sebelumnya kalian akan peroleh persamaan garis berikut.

3. Menentukan Persamaan Garis yang Sejajar Dengan Garis Lain dan Melalui Sebuah Titik

Hal pertama yang harus dilakukan sebelum menentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis lain dan melalui sebuah titik adalah menentukan gradien garis-garis sejajar tersebut.

Bagaimana caranya? Perhatikan gambar di bawah ini!

Garis h memiliki persamaan y = mx + c. Garis k sejajar garis h dan melalui titik (a,b) sehingga gradien garis k (mk) sama dengan gradien garis h (mh), yaitu m. (Ingat bahwa gradien garis yang sejajar adalah sama).

Berdasarkan rumus sebelumnya, kita peroleh persamaan garis k adalah y – b = m(x – a).

Jadi, persamaan garis yang sejajar dengan garis y = mx + c dan melalui titik (a, b) adalah y – b = m(x – a).

4. Menentukan Persamaan Garis yang Tegak Lurus Dengan Garis Lain dan Melalui Sebuah Titik

Masih ingatkah kalian bagaimana gradien dua buah garis yang saling tegak lurus seperti terlihat pada gambar di bawah ini?

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

FUNGSI PANGKAT TIGA